Geleceği görmek birçok zaman fantezi ve bilim kurgu malzemesidir. Ancak aslında geleceği şimdiden görebilmek için kristal bir küreye veya kahve fallarına ihtiyacınız yoktur. Size tek gereken matematiktir.
Dünya bazen rastgele veya öngörülemeyen olaylarla yönetiliyor gibi görünse de matematiksel olasılık ve istatistik alanları birçok gerçekliğin şaşırtıcı bir doğrulukla tahmin edilebileceğini göstermiştir. 19. yüzyıl İngiliz istatistikçisi Sir Francis Galton, tasarladığı Galton tahtası aracılığı ile bize geleceği göstermeye çalışıyordu.
Galton Tahtası bir deney/öğretim aletidir ve amacı hatalar kuralı ve normal dağılım konularını pratik olarak göstermektir. Galton bu alete alaycı bir ifade ile “quincunx” adını vermiştir ve diğer bazı kişiler tarafından fasulye makinası olarak anılmaktadır.
Bu aletin bir dikey tahtadan arkası ve açık veya camdan önü bulunmaktadır; üstünde küçük bilyelerin (veya fasulyelerin) alet içine dökülmesi için bir huni bulunmakta; içine yatay sıralarla çiviler çakılmıştır ve altta ise bilyelerin birer birer içlerinde toplanması için (Galton ‘un kendi aletinde bir bilye eninde olan) dikey kutucuklar dizi ile konulmuştur. Deney sırasında bilyeler huniden aletin içine dökülürler; aşağıya düşerlerken çakılı çivilere çarpıp sağa sola dağılırlar ve en sonunda alttaki kutucuklar içinde toplanırlar. Deney sonunda görülmektedir ki, eğer çok sayıda bilye kullanılırsa, sıralı kutucuklar içindeki bilyelerin yükseklikleri bir normal dağılım yani bir çan eğrisi şekli göstermektedir. Her topun sola ya da sağa gitme şansı eşit olduğundan, toplar yolculuğunu tamamladıktan sonra sonucun ne olacağını tahmin etmenin imkânsız olacağını düşünebilir. Bununla birlikte, deneyi kaç kez tekrar ederseniz edin, aşağı yukarı aynı sonucu göreceğiniz neredeyse kesindir.
Eğer bir bilye aşağı düşerken k kere sağa sıçrar (ve diğer çivilere çarpınca sola sıçrar) ise soldan sayılan kinci kutucuğa düşecektir. Yatay çivi sırası sayısı n olursa, alttaki k sayılı kutucuğa giden yollar sayısı bir binom katsayı
(n k)
İle ifade edilebilir. Eğer bir bilye için çiviye vurup sağa sıçrama olasılığı p olursa (eğer bu çivi yansız ise bu 1/2 olacaktır), bilyenin kinci kutucuğa düşme olasılığı
(n k)p^k(1 - p)^n k
ile ifade edilebilir ve bu da bir binom dağılımı için olasılık kütle fonksiyonudur. Merkezsel limit teoremine göre eğer alet içinde bulunan çakılı çivi sıraları sayısı n büyükse bu binom dağılıma bir normal dağılım yaklaşım gösterir.
Peki Bu Nasıl Gerçekleşiyor?
Böylesine doğası gereği rastgele bir süreç nasıl bu kadar tutarlı sonuçlar üretebilir? Sonuçta, her top daha önce gelenlerden tamamen bağımsızdır ve dibe ulaşmak için kesinlikle herhangi bir yoldan gitmekte özgürdür. Galton tahtasında karşımıza çıkan bu ilginç durumu anlamanın anahtarı, her bir topu ayrı ayrı düşünmek değil, tüm top grubunu belirli kurallara göre yönetilen tek bir varlık olarak görmektir.
Kalıbı anlamamıza yardımcı olması için, çok daha az iğne içeren çok daha küçük bir versiyonu ele alalım. Bu, sorunu yönetebileceğimiz bir ölçeğe indirecektir. Dalton tahtasında eğer dört sıra pin varsa, bir topun dibe ulaşması için tam olarak 16 olası yol vardır. İşte her birinin nasıl göründüğü:
Tek bir topa odaklanmak yerine tüm potansiyel yolları bir arada görmek, nihai sonucunu bu kadar öngörülebilir kılan şeyin ne olduğunu anlamanıza yardımcı olur. Bu tahtanın tepesinden 160 top bırakırsak, 16 yolun her biri yaklaşık 10 kez kullanılacaktır. Ancak, birkaç yolun aynı sonuca götürdüğünü fark edebilirsiniz. Örneğin, soldan ikinci yuvaya giden dört farklı yol vardır. Bu, bu yuvaya yaklaşık 40 topun girmesini beklememiz gerektiği anlamına gelir. Aynı şekilde, orta yuvaya götüren altı farklı yol vardır bu nedenle toplardan yaklaşık 60 tanesi oraya düşecektir.
Her yuvaya giden yolların sayısını hesaplarsanız, bu küçük tahta için aşağıdaki sayı serilerini elde edersiniz: 1, 4, 6, 4, 1. Bu sayıları bir grafiğe çizerseniz, görüntüsü aşağıdaki gibi olur.
Bu örneği daha da arttırabiliriz.
Size de Bir Yerden Tanıdık Geldi mi Bu Sonuç?
Birçok kişi bu şekli “çan eğrisi” olarak hatırlayacaktır, ancak matematikçiler buna “normal dağılım” derler. Bu durum bize, rastgelelikten etkilenen tüm grupların bu biçimde göründüğü gerçeğini yansıtır. Grup ister insanlardan ister test puanlarından veya olaylardan olsun, hepsi sonunda bu karakteristik şekli paylaşır.
Normal dağılıma götüren ilkeler, birçok günlük olgunun altında iş başındadır. Bu, etkili bir şekilde “geleceği tahmin etmemizi” sağlayan şeydir. Örneğin evinizden şehir merkezine giden bir otobüse biniyorsanız, gideceğiniz yere varmanız ne kadar sürer?
A ve B arasındaki yollarda kapsanan tam mesafeyi belirlemek ve ardından zamanı belirlemek için her yolu hız sınırına bölmek teorik olarak mümkün ancak bu aptalca bir iştir. Yol boyunca durmanıza ve yolculuğunuzu belirsiz sayıda kesintiye uğratmanıza neden olacak trafik ışıkları vardır. Normal dağılım bizi burada kurtarabilir.
Yolculuktaki trafik ışıkları, iğnelerin bazılarını sola ve bazılarını sağa göndermesi gibi, bazı araçların geçmesine izin verir ve diğerlerini durdurur. Ve bir yolculukta, Dalton kutusunda sola gitme ihtimalinin çok düşük olduğu gibi, her ışıkta durdurulmanız (veya tersine, bunların hiçbiri tarafından durdurulmamanız) olası değildir.
Gittikçe daha fazla yolculuğa çıktıkça, zamanla yolda harcanan süreniz yukarıdaki topların dağılımı gibi bir biçim oluşturacaktır. Aslında bu verdiğimiz örnek de, çevrimiçi haritaların tipik bir yolculuğun ne kadar süreceğini tahmin etmek için nasıl çalıştığını ve bazen şaşırtıcı derecede doğru olan tahmini varış sürelerini nasıl hesapladığını anlamamız açısından önemlidir.
Kaynak:
Eddie Woo; It’s a Numberful World: How Math Is Hiding Everywhere https://www.matematiksel.org/orneklerle-bazi-surekli-olasilik-dagilimlari
https://bilgepamuk.wordpress.com/